4.2- Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D’alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.

Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de  An+1/An se obtiene un numero L:

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera: Sea: 

Tal que:

§  f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y

§  f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:  

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera: 

§  L < 1 la serie converge

§  L > 1 la serie diverge

§  L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

   Criterio de Cauchy (raíz enésima)

   Sea una serie  

  tal que a_k > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe.

Entonces, si:

§  L < 1, la serie es convergente.

§  L > 1 entonces la serie es divergente.

§  L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.