4.5 – Serie de Taylor.

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Términos que se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función.

La serie de una función real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias

que puede compactarse de la siguiente manera: 

donde n! denota el factorial de n y ƒ ⁽ⁿ⁾(a) la derivada enésima de ƒ evaluada para el valor a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.
Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convirgiendo tal serie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica.

A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Taylor a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria: