En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma
viene dado por la expresión:
]
Si nos limitamos al
conjunto de los números reales,
una serie de la forma:recibe el nombre de serie
de potencias centrada en x0.
La serie converge
absolutamente para
un conjunto de valores de x que
verifica que:
recibe el nombre de serie
de potencias centrada en x0.
La serie converge
absolutamente para
un conjunto de valores de x que
verifica que:
donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al
menos, para los valores de pertenecientes
al intervalo (x0-r,x0+r) ,
ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por
lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semi abierto o
cerrado. Si la serie converge solo para x0, r=0, Si lo hace para cualquier
valor de x, r=infinito.
Radio de convergencia finito
La función 
en su desarrollo con
centro 0, o sea, en series de potencia:
tiene el siguiente aspecto: 
(para el cálculo de la serie vea serie de
Taylor). Su radio de convergencia es R=1. Eso significa
que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al xo=0 es menor que r=1, por ejemplo el x=.25, entonces al
remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que
remplazarlo en la función, de hecho 
(la cuenta se puede hacer por serie
de potencia). Y por otro lado 
Pero si tomamos un elemento fuera
del radio de convergencia, por ejemplo el x=2, los más
probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de
radio de convergencia).
Efectivamente: 
Radio de
convergencia infinito
Por ejemplo, la función e^x puede desarrollarse en series de potencia
de x-0=x, de hecho 
y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia
será infinito.
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